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Haben Sie jemals verrückte Binärzahlen gesehen und sich gefragt, was sie bedeuten? Sehen Sie jemals Zahlen mit eingemischten Buchstaben und fragen Sie sich, was los ist. All dies und mehr erfahren Sie in diesem Artikel. Hexadezimal muss nicht unheimlich sein.
Sie wissen wahrscheinlich schon, was ein Zahlensystem ist - haben Sie jemals Binär- oder Hexadezimalzahlen gehört? Einfach ausgedrückt ist ein Zahlensystem eine Möglichkeit, Zahlen darzustellen. Wir sind es gewohnt, das Basis-10-Zahlensystem zu verwenden, das auch als Dezimalzahl bezeichnet wird. Andere gebräuchliche Zahlensysteme umfassen Base-16 (Hexadezimal), Base-8 (Oktal) und Base-2 (Binär)..
In diesem Artikel werde ich erklären, was diese verschiedenen Systeme sind, wie man mit ihnen arbeitet und warum es hilfreich ist, wenn man sie kennt.
Bevor wir loslegen, lass uns zum Spaß eine kleine Aktivität versuchen. Es gibt viele verschiedene Arten, eine Farbe darzustellen, aber eine der häufigsten ist das RGB-Farbmodell. Bei diesem Modell setzt sich jede Farbe aus einer Kombination von Rot, Grün und Blau zusammen.
Sie fragen sich vielleicht, wie sich Farben auf Zahlensysteme beziehen. Kurz gesagt, auf einem Computer wird jede Farbe als große Zahl gespeichert: eine Kombination aus Rot, Grün und Blau. (Wir werden darauf später ausführlicher eingehen.) Da es sich nur um eine Zahl handelt, kann sie auf verschiedene Weise mit unterschiedlichen Zahlensystemen dargestellt werden.
Ihre Aufgabe ist es zu erraten, wie viel Rot, Grün und Blau in der Hintergrundfarbe der unten stehenden Aktivität enthalten ist. Die Werte für Rot, Grün und Blau können zwischen 0 und 255 liegen.
Fühlen Sie sich frei, die verschiedenen Hinweise zu verwenden, um Ihnen zu helfen. Wenn Sie die numerischen Hinweise noch nicht verstehen, kein Problem! Sie können sehen, wie Ihre Vermutung aussieht Überprüfen Sie die Rate Taste. Wenn die Hintergrundfarbe den Text schwer lesbar macht, drücken Sie Neue Farbe. Im Moment mag es schwierig erscheinen, aber am Ende des Artikels wird es hoffentlich einfach erscheinen.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... Sie haben Ihr ganzes Leben in der Basis-10 gezählt. Schnell, was ist 7 + 5? Wenn Sie 12 geantwortet haben, denken Sie in Basis-10. Schauen wir uns einmal genauer an, was Sie in all den Jahren gemacht haben, ohne darüber nachzudenken.
Lassen Sie uns einen kurzen Blick auf das Zählen werfen. Zuerst gehen Sie alle Ziffern durch: 0, 1, 2… Wenn Sie 9 drücken, haben Sie keine weiteren Ziffern, um die nächste Zahl darzustellen. Also ändern Sie den Wert wieder auf 0 und addieren die Zehnerstelle mit 1, so dass Sie 10 erhalten. Der Vorgang wiederholt sich immer wieder, und schließlich gelangen Sie zu 99, wo Sie keine größeren Zahlen mit zwei Ziffern bilden können füge noch einen hinzu und gib 100.
Obwohl dies alles sehr einfach ist, sollten Sie nicht übersehen, was los ist. Die äußerste rechte Ziffer steht für die Anzahl der Einsen, die nächste Ziffer für die Anzahl der Zehner, die nächste für die Anzahl der Zehner usw.
Verwirrt von diesen Beschreibungen? Kein Problem, visualisieren wir es stattdessen. Stellen Sie sich eine große Anzahl vor, wie 2347. Wir können das mit zwei Gruppen von eintausend, drei Gruppen von einhundert, vier Gruppen von zehn und sieben einzelnen Blöcken darstellen.
Visualisieren von Base-10 mithilfe von Blöcken Verwenden Sie das folgende Werkzeug, um eine Zahl in ihre zusammengesetzten "Gruppen" auszugeben..
Sie haben vielleicht schon ein Muster bemerkt. Schauen wir uns an, was mathematisch vorgeht, am Beispiel 2347.
Accentsconagua
1000 = 10 * 10 * 10 das kann auch als geschrieben werden 103.100 = 10 * 10 oder 102.10 = 101.1 = 100. (Das mag seltsam erscheinen, aber irgendein Zahl der Potenz von 0 entspricht per Definition 1.)Dies ist im Wesentlichen die Definition von Basis-10. Um einen Wert in Base-10 zu erhalten, folgen wir einfach diesem Muster. Hier einige weitere Beispiele:
892 = 8 * 102+9 * 101+2 * 1001147 = 1 * 103+1 * 102+4 * 101+7 * 10053 = 5 * 101+3 * 100Zugegeben, das alles wirkt ein bisschen dumm. Wir alle wissen, welchen Wert eine Basis-10-Zahl hat, weil wir immer Basis-10 verwenden, und das kommt für uns natürlich vor. Wie wir bald sehen werden, wenn wir die Muster im Hintergrund von Base-10 verstehen, können wir andere Basen besser verstehen.
Auf Basis-8, auch Oktal genannt. Basis-8 bedeutet genau das, was sich anhört: Das System basiert auf der Zahl Acht (im Gegensatz zu zehn). Erinnern Sie sich, wie wir in der Basis 10 zehn Ziffern hatten? In Base-8 sind wir jetzt auf nur acht Ziffern beschränkt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7. Es gibt keine 8 oder 9.
Wir zählen auf die gleiche Weise wie normalerweise, außer mit nur acht Ziffern. Versuchen Sie statt einer ausführlichen Erklärung einfach die unten stehende Demo durch Klicken Count Up 1 um zu sehen, wie das Zählen in Base-8 funktioniert.
Sie sollten ein ähnliches Muster wie zuvor bemerken. Nachdem wir auf 7 gekommen sind, gehen für eine höhere Zahl unterschiedliche Ziffern aus. Wir brauchen eine Möglichkeit, acht von etwas darzustellen. Also fügen wir eine weitere Ziffer hinzu, ändern die 7 wieder auf 0 und landen auf 10. Unsere Antwort von 10 in Base-8 entspricht jetzt dem, was wir normalerweise als 8 in Base-10 meinen würden.
Es kann verwirrend sein, über Zahlen zu sprechen, die in mehreren Basen geschrieben sind. Wie wir gerade gesehen haben, ist 10 in Base-8 nicht gleich 10 in Base-10. Von nun an verwende ich eine Standardnotation, in der ein Index die Basis von Zahlen angibt, falls erforderlich. Zum Beispiel sieht unsere Basis-8-Version von 10 jetzt wie 108 aus.
(Anmerkung des Herausgebers: Ich finde es viel einfacher, dies zu verstehen, wenn ich die Art und Weise, wie ich diese Zahlen in meinem Kopf lese, auch ändere. Zum Beispiel für 108 lese ich „oktal ein-oh“ oder „ein-oh in der Basis“). acht ". Für 1010 lese ich" dezimal 1-oh "oder" 1-oh in Basis-10 ".)
Toll, also wissen wir, dass 108 acht Artikel repräsentiert. (Fühlen Sie sich immer frei, eine Nummer in das erste Werkzeug für eine Visualisierung einzufügen.) Was ist die nächste Nummer nach 778? Wenn Sie 1008 sagten, sind Sie richtig. Wir wissen aus dem, was wir bisher gelernt haben, dass die ersten 7 in 778 8er-Gruppen und die zweite 7 einzelne Elemente darstellen. Wenn wir das alles zusammenrechnen, dann haben wir 7 * 8 + 7 * 1 = 63. Wir haben also insgesamt 6310. Also 778 = 6310. Wir alle wissen, dass 6410 nach 6310 kommt.
Schauen wir uns jetzt ein etwas schärferes Beispiel an. John bietet Ihnen 478 Cookies an und Jane bietet Ihnen 4310 Cookies an. Wessen Angebot nimmst du? Wenn Sie möchten, können Sie die Grafik für die 478-Grafik mit dem ersten Werkzeug generieren. Lassen Sie uns den Basis-10-Wert herausfinden, damit wir die beste Entscheidung treffen können!
Wie wir beim Zählen gesehen haben, repräsentiert die Vier in 478 die Anzahl der Achtergruppen. Das macht Sinn - wir sind in der Basis-8. Insgesamt haben wir also vier Gruppen von acht und sieben Gruppen von einer. Wenn wir das alles addieren, bekommen wir 4 * 8 + 7 * 1 = 3910. 478 Cookies entsprechen also exakt den 3910 Cookies. Janes Angebot scheint jetzt das beste zu sein!
Das Muster, das wir zuvor mit Base-10 gesehen haben, gilt auch hier. Wir werden uns 5238 ansehen. Es gibt fünf Gruppen von 82, zwei Gruppen von 81 und drei Gruppen von 80 (denk dran, 80= 1). Wenn wir das alles zusammenrechnen, 5 * 82 + 2 * 81 + 3 * 80 = 5 × 64 + 2 × 8 + 3 = 339, Wir erhalten 33910, was unsere endgültige Antwort ist. Das folgende Diagramm zeigt dasselbe visuell:
Konvertieren von 523 von Basis-8 in Basis-10 Hier sind ein paar weitere Beispiele:
1118 = 1 * 82+1 * 81+1 * 80 = 64 + 8 + 1 = 7310438 = 4 * 81+3 * 80 = 32 + 3 = 351061238 = 6 * 83+1 * 82+2 * 81+3 * 80 = 3072 + 64 + 16 + 3 = 315510Ein Umstieg von Base-10 auf Base-8 ist etwas komplizierter, aber dennoch unkompliziert. Wir müssen den Prozess grundsätzlich von oben umkehren. Beginnen wir mit einem Beispiel: 15010.
Wir finden zuerst die größte Leistung von 8, die kleiner als unsere Anzahl ist. Hier ist das 82 oder 64 (83 ist 512). Wir zählen, wie viele 64-Gruppen wir von 150 nehmen können. Dies ist 2, also ist die erste Ziffer unserer Basis-8-Nummer 2. Wir haben jetzt 128 von 150 erfasst, also haben wir 22 übrig.
Die größte Leistung von 8, die kleiner als 22 ist, ist 81 (das heißt, 8). Wie viele 8er-Gruppen können wir von 22 nehmen? Wieder zwei Gruppen und somit ist unsere zweite Ziffer 2.
Schließlich bleiben wir mit 6 übrig und können offensichtlich 6 Gruppen von einer dieser letzten Ziffer nehmen. Wir landen bei 2268.
In der Tat können wir diesen Prozess durch Mathematik klarer machen. Hier sind die Schritte:
Unsere abschließende Antwort sind dann alle unsere restlichen Ziffern oder 226. Beachten Sie, dass wir immer noch mit der Division durch die höchste Potenz von 8 beginnen, die geringer ist als unsere Zahl.
Es ist wichtig, die Konzepte, die wir über Basis-8 und Basis-10 gelernt haben, auf jede Basis anzuwenden. So wie Basis-8 acht Ziffern und Basis-10 zehn Ziffern hatte, hat jede Basis die gleiche Anzahl von Ziffern wie ihre Basis. Basis-5 hat also fünf Ziffern (0-4), Basis-7 sieben Ziffern (0-6) usw.
Sehen wir uns nun an, wie Sie den Basis-10-Wert einer beliebigen Zahl in einer Basis ermitteln können. Angenommen, wir arbeiten in base-b, wo b kann eine beliebige positive ganze Zahl sein. Wir haben eine Zahl d4d3d2d1d0, wobei jedes d eine Ziffer in einer Zahl ist. (Die Indizes beziehen sich hier nicht auf die Basis der Zahl, sondern differenzieren einfach jede Ziffer.) Unser Basis-10-Wert ist einfach d4 * b4 + d3 * b3 + d2 * b2 + d1 * b1 + d0 * b0.
Hier ein Beispiel: Wir haben die Nummer 32311 in Base-4. Beachten Sie, dass unsere Nummer nur Ziffern von Null bis Drei enthält, da Basis-4 nur vier Gesamtzahlen enthält. Unser Basis-10-Wert ist 3 * 44 + 2 * 43 + 3 * 42 + 1 * 41 + 1 * 40 = 3 × 256 + 2 × 64 + 3 × 16 + 1 × 4 + 1 × 1 = 949. Wir könnten diesem Muster mit einer beliebigen Anzahl von Ziffern in unserer Nummer folgen.
Base-16 wird auch als Hexadezimal bezeichnet. Es wird häufig in der Computerprogrammierung verwendet, daher ist es sehr wichtig zu verstehen. Beginnen wir mit dem Zählen in Hexadezimalzahlen, um sicherzustellen, dass wir das anwenden können, was wir bisher über andere Grundlagen gelernt haben.
Da wir mit Base-16 arbeiten, haben wir 16 Ziffern. Also haben wir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... und yikes! Wir haben keine Ziffern mehr, aber wir brauchen noch sechs. Vielleicht könnten wir so etwas wie eine eingekreiste 10 verwenden?
Die Wahrheit ist, wir könnten, aber das wäre ein schmerzhaftes Schreiben. Stattdessen verwenden wir einfach Buchstaben des Alphabets, beginnend mit A und weiter zu F. Hier ist eine Tabelle mit allen Ziffern der Basis-16:
| 16-stellige Basis | Wert |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| EIN | 10 |
| B | 11 |
| C | 12 |
| D | 13 |
| E | 14 |
| F | fünfzehn |
Abgesehen von diesen zusätzlichen Ziffern ist Hexadezimal wie jede andere Basis. Lassen Sie uns zum Beispiel 3D16 in Basis-10 konvertieren. Nach unseren vorherigen Regeln haben wir: 3D16 = 3 * 161 + 13 * 160 = 48 + 13 = 61. Also ist 3D16 gleich 6110. Beachten Sie, wie wir den D-Wert von 13 in unserer Berechnung verwenden.
Wir können von Base-10 zu Base-16 ähnlich wie bei Base-8 konvertieren. Wir konvertieren 69610 in Basis-16. Zunächst finden wir die größte Leistung von 16, die unter 69610 liegt. Dies ist 162, oder 296. Dann:
Wir müssen 11 durch die Ziffernrepräsentation B ersetzen, und wir erhalten 2B816.
Fühlen Sie sich frei, einige weitere Konvertierungen zum Üben auszuprobieren. Sie können die Anwendung unten verwenden, um Ihre Antworten zu überprüfen:
Auf der berühmten Basis-2, auch Binär genannt. Obwohl jeder weiß, dass binär aus 0 und 1 besteht, ist es wichtig zu verstehen, dass es mathematisch nicht anders ist als jede andere Basis. Es gibt einen alten Witz, der so lautet:
"Es gibt nur zehn Arten von Menschen auf der Welt: diejenigen, die binär verstehen und diejenigen, die dies nicht tun."
Können Sie herausfinden, was es bedeutet?
Versuchen wir ein paar Konvertierungen mit base-2. Zuerst konvertieren wir 1011002 in Basis-10. Wir haben: 101100 = 1 * 25 + 1 * 23 + 1 * 22 = 32 + 8 + 4 = 4410.
Nun konvertieren wir 65 in binär. 26 ist die höchste Leistung von 2 weniger als 65, also:
Und so erhalten wir unsere Binärzahl 1000001.
Binär zu verstehen ist super wichtig. Ich habe unten eine Tabelle hinzugefügt, um die Werte der Ziffern hervorzuheben.
Zum Beispiel ist der Wert von 10001 17, was die Summe der Werte der zwei Ziffern (16 + 1) ist. Dies ist nichts anderes als wir es bisher gemacht haben, es ist nur auf eine leicht lesbare Weise dargestellt.
Normalerweise würden Sie beim Konvertieren zwischen zwei Basen, die keine Basis-10 sind, Folgendes tun:
Es gibt jedoch einen Trick, mit dem Sie schnell zwischen binär und hexadezimal konvertieren können. Nehmen Sie zunächst eine beliebige Binärzahl und teilen Sie ihre Ziffern in Vierergruppen auf. Angenommen, wir haben die Nummer 10111012. Geteilt haben wir 0101 1101. Beachten Sie, wie wir der ersten Gruppe vor der ersten Gruppe zusätzliche Nullen hinzufügen können, um gerade Gruppen von 4 zu bilden. Wir finden nun den Wert für jede Gruppe, als wäre es der Fall eine eigene Zahl, die 5 und 13 ergibt. Zum Schluss schreiben wir einfach die entsprechenden Hexadezimalziffern, um die Basis-16-Nummer 5D16 auszugeben.
Wir können auch in die andere Richtung gehen, indem wir jede hexadezimale Ziffer in vier binäre Ziffern umwandeln. Versuchen Sie, B716 in binär zu konvertieren. Sie sollten 101101112 erhalten.
Dieser Trick funktioniert, weil 16 eine Potenz von 2 ist. Dies bedeutet, dass wir einen ähnlichen Trick für Base-8 verwenden, der ebenfalls eine Potenz von 2 ist:
Natürlich können Sie den Vorgang auch umkehren, um von Base-8 zu Binär zu wechseln.
Lassen Sie uns den ganzen Weg zurückgehen und das Farbrätselspiel erneut besuchen.
Bei der Umwandlung in Hexadezimalzahlen stellen die ersten beiden Ziffern die Menge an Rot dar, die nächsten zwei die Menge an Grün und die letzten zwei Ziffern die Menge an Blau. Wenn unsere Farbe 17FF1816 ist, können wir leicht feststellen, dass unsere rote Komponente 1716 oder 2310 ist. Unsere grüne Komponente ist FF16 oder 25510. Schließlich ist unsere blaue Komponente 1816 oder 2410. Wenn wir die Basis-10-Version unserer Farbe erhalten , 157263210, müssen wir es in hexadezimal konvertieren, bevor wir etwas darüber sagen können.
Versuchen Sie das Spiel noch einmal und sehen Sie, wie viel Sie besser machen können!
Das Verständnis verschiedener Zahlensysteme ist in vielen computerbezogenen Bereichen äußerst hilfreich. Binär und hexadezimal sind sehr häufig und ich möchte Sie dazu ermutigen, sich mit ihnen vertraut zu machen. Danke fürs Lesen - ich hoffe, Sie haben aus diesem Artikel viel gelernt! Wenn Sie Fragen haben, stellen Sie diese bitte unten.
